อนุพันธ์ของตัวเลข: วิธีการคำนวณและตัวอย่าง

อาจเป็น แนวคิดของอนุพันธ์ที่ คุ้นเคยกับเราแต่ละคนจากโรงเรียน โดยปกตินักเรียนมีปัญหาในการทำความเข้าใจนี้ไม่ต้องสงสัยสิ่งที่สำคัญมาก มีการใช้งานอย่างแข็งขันในด้านต่าง ๆ ในชีวิตของผู้คนและการพัฒนาด้านวิศวกรรมจำนวนมากขึ้นอยู่กับการคำนวณทางคณิตศาสตร์ที่ได้รับด้วยความช่วยเหลือของอนุพันธ์ แต่ก่อนที่เราจะไปถึงการวิเคราะห์สิ่งที่เป็นอนุพันธ์ของตัวเลขวิธีการคำนวณพวกเขาและที่พวกเขาจะเป็นประโยชน์กับเราเราจะกระโดดเพียงเล็กน้อยในประวัติศาสตร์

เรื่องราว

ความคิดของอนุพันธ์ซึ่งเป็นพื้นฐานของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์เปิดกว้าง (เป็นเรื่องที่ดีกว่าที่จะพูดว่า "คิดค้น" เพราะธรรมชาติมันเป็นเช่นนั้นไม่ได้มีอยู่) โดย Isaac Newton ซึ่งเราทุกคนรู้โดยการค้นพบกฎแห่งแรงโน้มถ่วงสากล เขาเป็นคนแรกที่ใช้แนวคิดนี้ในฟิสิกส์เพื่อเชื่อมโยงลักษณะของความเร็วและความเร่งของร่างกาย และนักวิทยาศาสตร์หลายคนยังคงสรรเสริญนิวตันสำหรับการประดิษฐ์อันงดงามนี้เพราะในความเป็นจริงเขาได้คิดค้นพื้นฐานของแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และแคลคูลัสหนึ่งตัวในความเป็นจริงเป็นรากฐานของเขตข้อมูลทั้งหมดของคณิตศาสตร์ที่เรียกว่า "การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์" ไม่ว่าจะเป็นในเวลานั้นรางวัลโนเบลนิวตันน่าจะได้รับมาหลายครั้ง

ไม่ได้โดยไม่มีจิตใจที่ดีอื่น ๆ นอกจากนิวตันเช่นอัจฉริยะที่มีชื่อเสียงของคณิตศาสตร์เช่น Leonard Euler, Louis Lagrange และ Gottfried Leibniz ทำงานเกี่ยวกับการพัฒนาอนุพันธ์และอนุพันธ์ ขอบคุณพวกเขาว่าเราได้รับทฤษฎีของ แคลคูลัสที่แตกต่างกัน ในรูปแบบที่มีอยู่จนถึงทุกวันนี้ โดยวิธีการนี้ Leibniz ค้นพบความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์ซึ่งจะกลายเป็นอะไรมากไปกว่าการสัมผัสกันของมุมของความโน้มเอียงของสัมผัสกับกราฟของฟังก์ชัน

ตัวเลขที่ได้รับมาคืออะไร? เราจะทำซ้ำเล็กน้อยที่ผ่านมาที่โรงเรียน

อนุพันธ์คืออะไร?

คุณสามารถกำหนดแนวคิดนี้ได้หลายวิธี คำอธิบายที่ง่ายที่สุด: อนุพันธ์คืออัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน เราแสดงกราฟของฟังก์ชัน y ของ x ถ้าไม่ใช่เส้นตรงเส้นโค้งก็จะมีบางส่วนในกราฟช่วงเวลาที่เพิ่มขึ้นและลดลง ถ้าเราใช้ช่วงเวลาเล็ก ๆ น้อย ๆ ของกราฟนี้จะเป็นส่วนของเส้นตรง ดังนั้นอัตราส่วนของขนาดของเซ็กเมนต์ขนาดเล็ก ๆ ตามพิกัด y กับขนาดของพิกัด x จะเป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนดในจุดที่กำหนด ถ้าเราพิจารณาฟังก์ชันโดยรวมและไม่อยู่ในจุดใดก็ตามเราจะได้รับฟังก์ชันของอนุพันธ์นั่นคือการพึ่งพาอาศัยกันของเกมบน x

นอกเหนือจากความหมายทางกายภาพของอนุพันธ์เป็นอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันแล้วยังมีความหมายทางเรขาคณิต เกี่ยวกับเขาตอนนี้เราพูดคุย

ความหมายทางเรขาคณิต

Derivatives ของตัวเลขในตัวเองเป็นจำนวนหนึ่งซึ่งโดยไม่มีความเข้าใจที่เหมาะสมไม่ทำให้รู้สึกใด ๆ ปรากฎว่าอนุพันธ์ไม่เพียงแสดงอัตราการเติบโตหรือลดลงของฟังก์ชันเท่านั้น แต่ยังมีการสัมผัสกันของความลาดชันของการสัมผัสกันกับกราฟของฟังก์ชันในจุดที่กำหนด คำจำกัดความค่อนข้างชัดเจน ให้เราตรวจสอบรายละเอียดเพิ่มเติม สมมติว่าเรามีกราฟของฟังก์ชัน (สำหรับความสนใจลองมาใช้เส้นโค้ง) มีจำนวนอนันต์แต่ว่ามีจุดที่จุดเดียวมีค่าสูงสุดหรือต่ำสุด ผ่านจุดดังกล่าวคุณสามารถวาดเส้นที่ตั้งฉากกับกราฟของฟังก์ชันที่จุดนั้นได้ เส้นดังกล่าวจะเรียกว่าสัมผัสกัน สมมติว่าเราวิ่งไปที่จุดตัดกับแกน OX ดังนั้นมุมระหว่างเส้นสัมผัสและแกน OX จะถูกกำหนดโดยอนุพันธ์ หรือแทนสัมผัสของมุมนี้จะเท่ากัน

ลองพูดคุยเกี่ยวกับบางกรณีโดยเฉพาะและวิเคราะห์ตัวเลขที่ได้รับ

กรณีพิเศษ

ตามที่เราได้กล่าวไว้แล้วอนุพันธ์ของตัวเลขคือค่าของอนุพันธ์ ณ จุดใดจุดหนึ่ง ยกตัวอย่างเช่นใช้ฟังก์ชัน y = x ² อนุพันธ์ x คือจำนวนและในกรณีทั่วไปฟังก์ชันเท่ากับ 2 * x ถ้าเราต้องการคำนวณอนุพันธ์กล่าวได้ว่า ณ จุด x ₀ = 1 เราจะได้ค่า y '(1) = 2 * 1 = 2 มันง่ายมาก กรณีที่น่าสนใจคืออนุพันธ์ของ จำนวนเชิงซ้อน เราจะไม่เข้าไปอธิบายรายละเอียดของสิ่งที่เป็นจำนวนเชิงซ้อน สมมุติว่านี่เป็นตัวเลขที่ประกอบด้วยหน่วยจินตภาพที่เรียกว่าตัวเลขที่มีค่าเป็น -1 การคำนวณอนุพันธ์ดังกล่าวเป็นไปได้เฉพาะเมื่อมีเงื่อนไขต่อไปนี้เท่านั้น:

1) ต้องมีอนุพันธ์บางส่วนของลำดับแรกจากส่วนจริงและจินตนาการในเกมและใน x

2) เงื่อนไข Cauchy-Riemann เป็นไปตามความสัมพันธ์กับความเท่าเทียมกันของอนุพันธ์บางส่วนที่อธิบายไว้ในย่อหน้าแรก

อีกกรณีที่น่าสนใจแม้ว่าจะไม่มีความซับซ้อนเท่าที่ก่อนหน้า แต่ก็เป็นอนุพันธ์ของจำนวนลบ ในความเป็นจริงตัวเลขเชิงลบใด ๆ สามารถแสดงเป็นบวกคูณด้วย -1 แต่อนุพันธ์ของค่าคงที่และฟังก์ชันจะเท่ากับค่าคงที่คูณด้วยอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

น่าสนใจที่จะเรียนรู้เกี่ยวกับบทบาทของอนุพันธ์ในชีวิตประจำวันและนี่คือสิ่งที่เรากำลังพูดถึง

ใบสมัคร

บางทีเราทุกคนอย่างน้อยหนึ่งครั้งในชีวิตจับตัวเองคิดว่าคณิตศาสตร์เป็นประโยชน์แทบจะไม่ให้เขา และสิ่งที่ซับซ้อนเช่นอนุพันธ์อาจไม่มีแอพพลิเคชันเลย ในความเป็นจริงคณิตศาสตร์เป็นวิทยาศาสตร์พื้นฐานและผลไม้ทั้งหมดของมันได้รับการพัฒนาส่วนใหญ่โดยฟิสิกส์เคมีดาราศาสตร์และแม้แต่เศรษฐศาสตร์ อนุพันธ์ได้ก่อให้เกิดการ วิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ที่ช่วยให้เราสามารถสรุปผลจากกราฟของฟังก์ชันได้และเราได้เรียนรู้ที่จะตีความกฎหมายของธรรมชาติและเปลี่ยนให้เป็นประโยชน์ต่อเรา

ข้อสรุป

แน่นอนทุกคนไม่อาจต้องการอนุพันธ์ในชีวิตจริง แต่คณิตศาสตร์พัฒนาตรรกะที่แน่นอนจะต้อง. ไม่ใช่เรื่องที่คณิตศาสตร์เรียกว่าราชินีแห่งวิทยาศาสตร์: เป็นพื้นฐานสำหรับการทำความเข้าใจด้านอื่น ๆ ของความรู้