ระบบของสมการพีชคณิตเชิงเส้น ระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันของสมการพีชคณิตเชิงเส้น

ที่โรงเรียนของเราแต่ละคนมีการศึกษาสมการและแน่นอนระบบของสมการ แต่หลายคนไม่ทราบว่ามีหลายวิธีที่จะแก้ปัญหาได้ วันนี้เราจะเห็นว่าวิธีการทั้งหมดสำหรับการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นซึ่งจะประกอบด้วยมากกว่าสองสม

เรื่องราว

วันนี้เรารู้ว่าศิลปะของการแก้สมการและระบบของพวกเขามาในบาบิโลนโบราณและอียิปต์ อย่างไรก็ตามความเท่าเทียมกันในรูปแบบที่คุ้นเคยของพวกเขาปรากฏตัวให้เราหลังจากการเกิดขึ้นของเครื่องหมายเท่ากับ "=" ซึ่งเป็นที่รู้จักใน 1556 โดยบันทึกนักคณิตศาสตร์ภาษาอังกฤษ โดยวิธีการที่สัญลักษณ์นี้เป็นทางเลือกสำหรับเหตุผล: มันหมายความว่าทั้งสองส่วนเท่ากันขนาน อันที่จริงตัวอย่างที่ดีที่สุดของความเท่าเทียมกันไม่ได้มาขึ้น

ผู้ก่อตั้งของตัวอักษรที่ทันสมัยและสัญลักษณ์ของขอบเขตที่ไม่รู้จักนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส Fransua เวีย อย่างไรก็ตามการแต่งตั้งอย่างมีนัยสำคัญที่แตกต่างกันตั้งแต่วันนี้ ยกตัวอย่างเช่นตารางของหมายเลขที่ไม่รู้จักเขากำหนดโดยตัวอักษร Q (ลาดพร้าว "quadratus".) และก้อน - (. ลาดพร้าว "Cubus") ตัวอักษร C สัญลักษณ์เหล่านี้ในขณะนี้ดูเหมือนจะอึดอัด แต่แล้วมันเป็นวิธีที่ง่ายที่สุดในการเขียนของระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น

แต่ข้อเสียในวิธีการแพร่หลายของการแก้ปัญหาคือการที่นักคณิตศาสตร์ที่มีการพิจารณาเพียงรากบวก บางทีนี่อาจจะเป็นเพราะความจริงที่ว่าค่าลบไม่ได้มีโปรแกรมการปฏิบัติใด ๆ หรืออีกวิธีหนึ่ง แต่คนแรกที่จะได้รับการพิจารณารากเชิงลบหลังจากที่เริ่มอิตาลีคณิตศาสตร์นิกโคโลทาร์ทาเกเลีย, เจิโรลาโมคาร์ดาโนและราฟาเอลบอมเบลลีในศตวรรษที่ 16 รูปลักษณ์ทันสมัย, วิธีการหลักของการแก้ สมการกำลังสอง (ผ่านการจำแนก) ก่อตั้งขึ้นเฉพาะในศตวรรษที่ 17 ผ่านการทำงานของ Descartes และนิวตัน

ในช่วงกลางของนักคณิตศาสตร์ชาวสวิสศตวรรษที่ 18 กาเบรียลเครเมอร์พบวิธีการใหม่ที่จะทำให้การแก้ปัญหาของระบบสมการเชิงเส้นได้ง่ายขึ้น วิธีการนี้ต่อมาได้รับการตั้งชื่อตามเขาและวันนี้เราใช้มัน แต่วิธีการของการพูดคุยเครเมอเล็กน้อยในภายหลัง แต่สำหรับตอนนี้เราจะหารือเกี่ยวกับสมการเชิงเส้นและการแก้ปัญหาของพวกเขาแยกจากระบบ

สมการเชิงเส้น

สมการเชิงเส้น - สมการที่ง่ายกับตัวแปร (s) พวกเขาอยู่ในพีชคณิต สมการเชิงเส้น ที่เขียนในรูปแบบทั่วไปดังนี้ ₁ * x ₁ + _{2 *} x ₂ + ... และ _n * x _n = b นำส่งแบบฟอร์มนี้เราจะต้องในการจัดทำระบบและเมทริกซ์ใน

ระบบของสมการพีชคณิตเชิงเส้น

ความหมายของคำนี้คือชุดของสมการที่มีราชวงศ์ที่พบบ่อยและวิธีการแก้ปัญหาทั่วไป โดยปกติแล้วที่โรงเรียนทุกแก้ไขระบบที่มีสองหรือสามสมการ แต่มีระบบที่มีสี่หรือมากกว่าส่วนประกอบ ลองมาดูวิธีการแรกที่พวกเขาเขียนลงเพื่อให้มามันเป็นความสะดวกสบายในการแก้ปัญหา ประการแรกระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นจะดูดีขึ้นหากตัวแปรทั้งหมดที่มีการเขียนเป็น x กับดัชนีที่สอดคล้องกัน: 1,2,3 และอื่น ๆ ประการที่สองก็ควรนำสมการทั้งหมดไปยังรูปแบบที่ยอมรับ: ₁ * x ₁ + _{2 *} x ₂ + ... และ _n * x _n = b

หลังจากที่ทุกขั้นตอนเหล่านี้เราสามารถเริ่มต้นที่จะบอกคุณว่าจะหาวิธีการแก้ปัญหาของระบบสมการเชิงเส้น เป็นอย่างมากสำหรับการที่จะมาในเมทริกซ์ที่มีประโยชน์

มดลูก

เมทริกซ์ - โต๊ะที่ประกอบด้วยแถวและคอลัมน์และองค์ประกอบของมันเป็นที่จุดตัดของพวกเขา นี้สามารถเป็นได้ทั้งค่าเฉพาะที่หรือตัวแปร ในกรณีส่วนใหญ่จะกำหนดองค์ประกอบที่จะถูกจัดเรียงใต้ห้อย (เช่น ₁₁ หรือ ₂₃ กัน) ดัชนีแรกระบุจำนวนแถวและสอง - คอลัมน์ การฝึกอบรมดังกล่าวข้างต้นดังกล่าวข้างต้นและองค์ประกอบทางคณิตศาสตร์อื่น ๆ ใด ๆ ที่สามารถดำเนินการต่างๆ ดังนั้นคุณสามารถ:

1) ลบและเพิ่มขนาดเดียวกันของตาราง

2) คูณเมทริกซ์ไปยังหมายเลขปลายทางหรือเวกเตอร์

3) Transpose: เปลี่ยนเส้นเมทริกซ์ในคอลัมน์และคอลัมน์ - ในสาย

4) คูณเมทริกซ์ถ้าจำนวนแถวที่มีค่าเท่ากับหนึ่งของพวกเขาจำนวนที่แตกต่างกันของคอลัมน์

เพื่อหารือในรายละเอียดทั้งหมดของเทคนิคเหล่านี้ที่พวกเขาเป็นประโยชน์กับเราในอนาคต การลบและนอกเหนือจากการฝึกอบรมเป็นเรื่องง่ายมาก เนื่องจากเราใช้ขนาดเมทริกซ์เดียวกันองค์ประกอบของตารางแต่ละคนมีความเกี่ยวข้องกับทุกองค์ประกอบอื่น ๆ ดังนั้นเราจึงเพิ่ม (ลบ) สองขององค์ประกอบเหล่านี้ (มันเป็นสิ่งสำคัญที่พวกเขากำลังยืนอยู่บนพื้นดินเดียวกันในการฝึกอบรมของพวกเขา) เมื่อคูณด้วยจำนวนของเมทริกซ์หรือเวกเตอร์คุณก็คูณองค์ประกอบของเมทริกซ์แต่ละจากจำนวน (หรือเวกเตอร์) ที่ ขนย้าย - กระบวนการที่น่าสนใจมาก ที่น่าสนใจมากบางครั้งที่จะเห็นเขาในชีวิตจริงเช่นเมื่อมีการเปลี่ยนทิศทางของแท็บเล็ตหรือโทรศัพท์ ไอคอนบนเดสก์ทอปเป็นเมทริกซ์และมีการเปลี่ยนแปลงของตำแหน่งนั้นจะถูกขนย้ายและกลายเป็นที่กว้างขึ้น แต่ลดลงในระดับความสูง

ให้เราตรวจสอบกระบวนการมากขึ้นเช่นการ คูณเมทริกซ์ แม้ว่าเขาจะบอกเราและไม่เป็นประโยชน์ แต่ทราบว่ามันยังคงมีประโยชน์ คูณสองเมทริกซ์สามารถมีได้เพียงภายใต้เงื่อนไขที่ว่าจำนวนของคอลัมน์ในตารางหนึ่งมีค่าเท่ากับจำนวนแถวอื่น ๆ ตอนนี้ใช้เวลาหนึ่งองค์ประกอบเส้นเมทริกซ์และองค์ประกอบอื่น ๆ ของคอลัมน์ที่สอดคล้องกัน คูณพวกเขากับแต่ละอื่น ๆ และจากนั้นสรุป _{(เช่นตัวอย่างเช่นผลิตภัณฑ์ขององค์ประกอบที่ 11} และ ₁₂ และ ₁₂ และ ₂₂ ขขจะเท่ากับ: a * b _{11 12 12} + b * และ ₂₂₎ ดังนั้นรายการตารางเดียวและวิธีการที่คล้ายกับมันเต็มไปต่อไป

ตอนนี้เราสามารถเริ่มต้นที่จะพิจารณาถึงวิธีการแก้ระบบสมการเชิงเส้น

เกาส์

ชุดรูปแบบนี้เริ่มที่จะใช้สถานที่โรงเรียน เรารู้ดีว่าแนวคิดของ "ระบบของทั้งสองสมการเชิงเส้น" และรู้วิธีที่จะแก้ปัญหาได้ แต่สิ่งที่ถ้าจำนวนสมมากกว่าสอง? นี้จะช่วยให้เรา วิธีเกาส์

แน่นอนว่าวิธีนี้เป็นวิธีที่สะดวกในการใช้งานถ้าคุณทำเมทริกซ์ของระบบ แต่คุณไม่สามารถแปลงและตัดสินใจได้ด้วยตัวเอง

ดังนั้นวิธีการที่จะแก้ปัญหาได้โดยระบบสมการเชิงเส้นเกาส์หรือไม่? โดยวิธีการที่แม้ว่าวิธีนี้และตั้งชื่อตามเขา แต่ค้นพบในสมัยโบราณ Gauss มีการดำเนินการดำเนินการกับสมการไปในที่สุดส่งผลให้ในจำนวนทั้งสิ้นเพื่อ Echelon รูปแบบ นั่นคือคุณจะต้องจากบนลงล่าง (ถ้าวางถูกต้อง) จากครั้งแรกสมการที่ผ่านมาจางหายไปอย่างใดอย่างหนึ่งที่ไม่รู้จัก ในคำอื่น ๆ เราต้องทำให้แน่ใจว่าเราได้มีการพูดสามสม: ครั้งแรก - สามราชวงศ์ในที่สอง - สองในสาม - หนึ่ง จากนั้นจากสมการที่ผ่านมาเราพบว่าไม่รู้จักครั้งแรกแทนความคุ้มค่าในครั้งที่สองหรือสมการแรกและต่อไปพบว่าส่วนที่เหลืออีกสองตัวแปร

กฎของ Cramer

สำหรับการพัฒนาของเทคนิคนี้มีความสำคัญที่จะโททักษะของการบวกลบของการฝึกอบรมเช่นเดียวกับความต้องการที่จะสามารถที่จะหาปัจจัย ดังนั้นถ้าคุณไม่สบายใจทำเช่นนี้หรือไม่ทราบว่ามันเป็นสิ่งจำเป็นที่จะเรียนรู้และได้รับการอบรม

สาระสำคัญของวิธีนี้คืออะไรและวิธีการที่จะทำเช่นนั้นเพื่อให้ได้ระบบสมการเชิงเส้น Cramer หรือไม่? มันง่ายมาก เราจำเป็นต้องสร้างเมทริกซ์ของตัวเลข (เกือบเสมอ) ค่าสัมประสิทธิ์ของระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น การทำเช่นนี้เพียงใช้หมายเลขที่ไม่รู้จักและเราจัดโต๊ะเพื่อที่พวกเขาจะถูกบันทึกไว้ในระบบ ถ้าก่อนหน้านี้จำนวนเป็นสัญญาณ "-" แล้วเราเขียนค่าสัมประสิทธิ์เชิงลบ ดังนั้นเราทำเมทริกซ์แรกของค่าสัมประสิทธิ์ของราชวงศ์ที่ไม่รวมถึงหมายเลขหลังเครื่องหมายเท่ากับ (แน่นอนว่าสมการจะต้องมีการลดลงไปในรูปแบบที่เป็นที่ยอมรับเมื่อมีสิทธิเป็นเพียงจำนวนและซ้าย - ราชวงศ์ทั้งหมดที่มีค่าสัมประสิทธิ์) แล้วคุณจะต้องทำกี่ฝึกอบรม - การหนึ่งสำหรับแต่ละตัวแปร เพื่อจุดประสงค์นี้ในเมทริกซ์ครั้งแรกจะถูกแทนที่โดยหนึ่งคอลัมน์ตัวเลขแต่ละคอลัมน์มีค่าสัมประสิทธิ์หลังเครื่องหมายเท่ากับ ดังนั้นเราจึงได้รับการฝึกอบรมไม่กี่แล้วพบว่าปัจจัยของพวกเขา

หลังจากที่เราพบบ่นมันมีขนาดเล็ก เรามีเมทริกซ์เริ่มต้นและมีการฝึกอบรมมาหลายอย่างซึ่งสอดคล้องกับตัวแปรที่แตกต่าง ที่จะได้รับการแก้ปัญหาระบบเราแบ่งปัจจัยของตารางผลในปัจจัยหลักของตาราง จำนวนผลค่าของตัวแปรหนึ่ง ในทำนองเดียวกันเราพบว่าไม่ทราบทั้งหมด

วิธีการอื่น ๆ

มีหลายวิธีในการสั่งซื้อที่จะได้รับการแก้ปัญหาของระบบสมการเชิงเส้นที่มี ยกตัวอย่างเช่นที่เรียกว่าเกาส์จอร์แดนวิธีการที่จะใช้สำหรับการหาทางแก้ปัญหาของระบบสมการกำลังสองและยังเกี่ยวข้องกับการใช้งานของการฝึกอบรม นอกจากนี้ยังมีวิธีการ Jacobi สำหรับการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น เขาได้อย่างง่ายดายปรับให้เหมาะกับคอมพิวเตอร์ทุกเครื่องและนำมาใช้ในการคำนวณ

กรณีที่มีความซับซ้อน

ซับซ้อนมักจะเกิดขึ้นถ้าจำนวนของสมการคือน้อยกว่าจำนวนของตัวแปร แล้วแน่นอนเราสามารถพูดได้ว่าหรือระบบจะไม่สอดคล้องกัน (เช่นไม่มีราก) หรือจำนวนของการตัดสินใจของตนมีแนวโน้มที่จะอินฟินิตี้ ถ้าเรามีกรณีที่สอง - มันเป็นสิ่งที่จำเป็นในการเขียนการแก้ปัญหาทั่วไปของระบบสมการเชิงเส้น มันจะรวมตัวแปรอย่างน้อยหนึ่ง

ข้อสรุป

ที่นี่เรามาถึงจุดสิ้นสุด เพื่อสรุป: เราจะต้องเข้าใจในสิ่งที่เมทริกซ์ระบบเรียนรู้ที่จะหาทางออกโดยทั่วไปของระบบสมการเชิงเส้น นอกจากนี้เราพิจารณาตัวเลือกอื่น ๆ เราคิดว่าวิธีการแก้ระบบสมการเชิงเส้น: กำจัดแบบเกาส์และ กฎของ Cramer เราได้พูดคุยเกี่ยวกับกรณีที่ยากและวิธีการอื่น ๆ ในการหาโซลูชั่น

ในความเป็นจริงปัญหานี้กว้างขวางมากขึ้นและถ้าคุณต้องการที่จะเข้าใจมันเราแนะนำให้คุณอ่านรายละเอียดเพิ่มเติมของวรรณคดีเฉพาะ