ความแตกต่าง - นี่คืออะไร? วิธีการหาค่าของฟังก์ชั่นคืออะไร?

พร้อมกับสัญญาซื้อขายล่วงหน้า ฟังก์ชั่นของพวกเขา ความแตกต่าง - มัน บางส่วนของแนวคิดพื้นฐาน ของแคลคูลัสที่แตกต่างกัน, ส่วนหลัก ของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ขณะที่การเชื่อมโยงความสัมพันธุ์ให้ทั้งสองคนหลายศตวรรษใช้กันอย่างแพร่หลายในการแก้เกือบทุกปัญหาที่เกิดขึ้นในหลักสูตรของกิจกรรมทางวิทยาศาสตร์และทางเทคนิค

การเกิดขึ้นของแนวคิดของความแตกต่าง

เป็นครั้งแรกที่ทำให้มันชัดเจนว่าเช่นค่าซึ่งเป็นหนึ่งในผู้ก่อตั้ง (พร้อมกับ Isaakom Nyutonom) แคลคูลัสแตกต่างที่มีชื่อเสียงนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันกอตฟริด Vilgelm Leybnits ก่อนที่นักคณิตศาสตร์ในศตวรรษที่ 17 ใช้ความคิดที่ชัดเจนมากและที่คลุมเครือของเล็กบางคน "แบ่ง" ของฟังก์ชั่นใด ๆ ที่รู้จักกันคิดเป็นค่าคงที่มีขนาดเล็กมาก แต่ไม่เท่ากับศูนย์ด้านล่างซึ่งค่าฟังก์ชั่นไม่สามารถเป็นเพียงแค่ ดังนั้นมันก็เป็นเพียงขั้นตอนหนึ่งที่จะนำความคิดของการเพิ่มขึ้นทีละเล็กของการขัดแย้งการทำงานและการเพิ่มขึ้นของตนฟังก์ชั่นที่สามารถแสดงออกในแง่ของสัญญาซื้อขายล่วงหน้าของหลัง และขั้นตอนนี้ถูกนำมาเกือบจะพร้อมกันสองข้างต้นนักวิทยาศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่

ขึ้นอยู่กับความจำเป็นในการแก้ไขอย่างเร่งด่วนปัญหากลศาสตร์การปฏิบัติที่เผชิญหน้ากับวิทยาศาสตร์การพัฒนาอย่างรวดเร็วของอุตสาหกรรมและเทคโนโลยีนิวตันและไลบ์นิซได้สร้างวิธีการทั่วไปในการหาฟังก์ชั่นของอัตราการเปลี่ยนแปลงที่นำไปสู่การแนะนำของแนวคิดดังกล่าว (ในเรื่องเกี่ยวกับความเร็วกลของร่างกายของวิถีที่รู้จักกันโดยเฉพาะอย่างยิ่งกับ) เป็นฟังก์ชั่นและอนุพันธ์ที่แตกต่างกันและยังพบว่ามีการแก้ปัญหาขั้นตอนวิธีการผกผันเป็นที่รู้จักกันต่อ se (ตัวแปร) ความเร็วในการสำรวจเพื่อหาเส้นทางที่ได้นำไปสู่แนวคิดของการหนึ่ง Ala

ในการทำงานของไลบ์นิซและนิวตันคิดแรกก็ปรากฏว่าแตกต่าง - เป็นสัดส่วนกับการเพิ่มขึ้นของการขัดแย้งพื้นฐานΔhเพิ่มฟังก์ชั่นΔuที่สามารถนำไปใช้ในการคำนวณค่าของหลังที่ ในคำอื่น ๆ ที่พวกเขาได้ค้นพบว่าฟังก์ชั่นที่เพิ่มขึ้นอาจจะอยู่ที่จุดใด ๆ (ภายในประสิทธิภาพสูงของความหมาย) จะแสดงผ่านอนุพันธ์ทั้งΔu y = '(x) Δh + αΔhที่αΔh - ที่เหลือพุ่งไปอยู่ที่ศูนย์เป็นΔh→ 0, เร็วกว่าที่เกิดขึ้นจริงΔh

ตามที่ผู้ก่อตั้งของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ที่แตกต่าง - นี่คือว่าในระยะแรกในการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชั่นใด ๆ แม้จะไม่ได้มีการ จำกัด กำหนดไว้อย่างชัดเจนลำดับแนวคิดที่มีความเข้าใจอย่างสังหรณ์ใจว่าค่าความแตกต่างของอนุพันธ์มีแนวโน้มที่จะทำงานเมื่อΔh→ 0 - Δu / Δh→ Y '(x)

ซึ่งแตกต่างจากนิวตันซึ่งเป็นหลักฟิสิกส์และเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ถือเป็นเครื่องมือที่ช่วยในการศึกษาปัญหาทางกายภาพของไลบ์นิซได้ให้ความสนใจมากขึ้นในการเครื่องมือนี้รวมทั้งระบบของสัญลักษณ์ภาพและเข้าใจได้ค่าทางคณิตศาสตร์ เขาเป็นคนที่นำเสนอเอกสารมาตรฐานของฟังก์ชั่นแตกต่าง DY y = '(x) DX, DX และอนุพันธ์ของฟังก์ชั่นการโต้แย้งเป็นปีความสัมพันธ์ของพวกเขา' (x) = DY / DX

ความหมายที่ทันสมัย

ค่าในแง่ของคณิตศาสตร์สมัยใหม่คืออะไร? มันเป็นเรื่องที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับแนวคิดของการเพิ่มขึ้นของตัวแปร ถ้าตัวแปร y ที่ใช้ค่าแรกของปีการ y = _{1 แล้ว} y = ₂ y _{ที่แตกต่างกัน 2} y ─ปี ₁ เรียกว่า Y มูลค่าเพิ่มขึ้น การเพิ่มขึ้นของสามารถบวก เชิงลบและศูนย์ คำว่า "เพิ่ม" ถูกกำหนดΔบันทึกΔu (อ่าน 'เดลต้า Y') หมายถึงค่าของปีที่เพิ่มขึ้น ดังนั้นΔu y = ₂ ─ปี ₁

ถ้าค่าΔuฟังก์ชั่นโดยพลการ y = f (x) อาจจะแสดงเป็นΔu = a Δh + αโดยที่ A คือการพึ่งพาไม่มีในΔhที. อี A = const สำหรับ x ที่กำหนดและαระยะเมื่อΔh→ 0 มีแนวโน้มที่จะ มันเป็นได้เร็วขึ้นกว่าที่เกิดขึ้นจริงΔhแล้วครั้งแรก ( "ต้นแบบ") เป็นคำสัดส่วนΔhและสำหรับการ y = f (x) ค่าชี้แนะ DY หรือ DF (x) (อ่าน "Y เดอ", "เดเอฟเอฟจาก X") ดังนั้นความแตกต่าง - เป็น "หลัก" เชิงเส้นที่มีความเคารพต่อองค์ประกอบของฟังก์ชั่นการเพิ่มขึ้นΔh

คำอธิบายกล

Let s = f (t) - ระยะทางในแนวเส้นตรงย้าย จุดวัสดุ จากตำแหน่งเริ่มต้น (t - เวลาในการเดินทาง) เพิ่มΔs - เป็นจุดทางในระหว่างช่วงเวลาΔtและ ds แตกต่าง = f '(t) Δt - เส้นทางนี้จุดที่จะจัดขึ้นเป็นเวลาเดียวกันΔtถ้ามันสะสมฉความเร็ว' (t) ถึง ณ เวลา t . เมื่อเล็กΔt ds เส้นทางจินตนาการที่แตกต่างจากที่เกิดขึ้นจริงΔsกระจิริดมีการสั่งซื้อที่สูงขึ้นด้วยความเคารพΔt ถ้าความเร็วที่เวลา t ที่ไม่เท่ากับศูนย์ ds ค่าประมาณให้จุดอคติเล็ก ๆ

การตีความทางเรขาคณิต

ให้เส้น L คือกราฟของการ y = f (x) จากนั้นΔ x = MQ, Δu = QM '(ดู. รูปด้านล่าง) สัมผัส MN แบ่งΔuตัดออกเป็นสองส่วน QN และ NM' แรกและΔhเป็นสัดส่วน QN = MQ ∙ tg (มุม QMN) = Δh F '(x), t. E QN เป็นค่า DY

ส่วนที่สองของความแตกต่างΔu NM'daet ─ DY เมื่อΔh→ 0 NM ยาว 'ลดลงได้เร็วขึ้นกว่าการเพิ่มขึ้นของการโต้แย้งคือมันจะมีคำสั่งของสัมปชัญญะสูงกว่าΔh ในกรณีนี้ถ้า F '(x) ≠ 0 (ไม่ขนานสัมผัส OX) กลุ่ม QM'i QN เทียบเท่า ในคำอื่น ๆ NM 'ลดลงอย่างรวดเร็ว (คำสั่งของสัมปชัญญะของสูงกว่า) เพิ่มขึ้นรวมΔu = QM' นี้จะเห็นได้ในรูปที่ (ใกล้ส่วน M'k M NM'sostavlyaet ทั้งหมดเปอร์เซ็นต์ของขนาดเล็กส่วน QM)

ดังนั้นกราฟิกแตกต่างฟังก์ชั่นโดยพลการจะมีค่าเท่ากับการเพิ่มขึ้นของการบรรพชาของสัมผัสที่

อนุพันธ์และความแตกต่าง

ปัจจัยในระยะแรกของฟังก์ชั่นการแสดงออกเพิ่มขึ้นเท่ากับมูลค่าของตราสารอนุพันธ์ฉตน '(x) ดังนั้นต่อไปนี้ความสัมพันธ์ - DY = f (x) Δhหรือ DF (x) = f (x) Δh

เป็นที่ทราบกันว่าการเพิ่มขึ้นของการโต้แย้งอิสระเท่ากับค่าของΔh = DX ดังนั้นเราสามารถเขียน: F (x) DX = DY

หา (บางครั้งกล่าวว่าเป็น "การตัดสินใจ") ความแตกต่างจะดำเนินการตามกฎระเบียบเช่นเดียวกับการซื้อขายสัญญาซื้อขายล่วงหน้า รายการของพวกเขาได้รับด้านล่าง

อะไรคือสิ่งที่สากลมากขึ้น: การเพิ่มขึ้นของการโต้แย้งหรือค่าของมัน

นี่มันเป็นสิ่งจำเป็นที่จะทำให้การชี้แจงบาง ค่าตัวแทน F '(x) ค่าที่เป็นไปได้Δh x เมื่อพิจารณาเป็นอาร์กิวเมนต์ แต่ฟังก์ชั่นที่สามารถจะมีความซับซ้อนซึ่งใน x สามารถเป็นฟังก์ชั่นของการโต้แย้งที จากนั้นเป็นตัวแทนของการแสดงออกที่แตกต่างกันของ F (x) Δhที่เป็นกฎที่มันเป็นไปไม่ได้; ยกเว้นในกรณีของการพึ่งพาอาศัยเชิงเส้น x = ที่ + ข

ในฐานะที่เป็นฉสูตร '(x) = DX DY แล้วในกรณีของการโต้แย้ง x อิสระ (แล้ว DX = Δh) ในกรณีของการพึ่งพาอาศัยของตัวแปร x ทีก็เป็นค่า

ยกตัวอย่างเช่นการแสดงออก 2 x Δhคือสำหรับการ y = x ² ค่าเมื่อ x มีข้อโต้แย้ง ตอนนี้เรา x = ² t และถือว่าเสื้อโต้แย้ง จากนั้นการ y = x ² = ⁴ ตัน

นี้จะตามด้วย (T + Δt) ² t = ² + 2tΔt + Δt ² ดังนั้นΔh = 2tΔt + Δt ² ดังนั้น: 2xΔh = 2t ² (2tΔt + Δt ²⁾

สำนวนนี้ไม่ได้สัดส่วนกับΔtและดังนั้นจึงอยู่ในขณะนี้2xΔhไม่ได้แตกต่าง มันสามารถพบได้จากสมการ y = x ² = ⁴ ตัน มันเป็น DY เท่ากับ = 4T ³ Δt

ถ้าเราใช้เวลา 2xdx แสดงออกมันเป็นค่าการ y = x ² สำหรับอาร์กิวเมนต์เสื้อใด ๆ อันที่จริงเมื่อ x = ² t ได้รับ DX = 2tΔt

ดังนั้น 2xdx = 2t ² 2tΔt = 4T ³ .DELTA.t ที. อีแตกต่างแสดงออกบันทึกโดยสองตัวแปรที่แตกต่างกันตรง

เปลี่ยนเพิ่มขึ้นแตกต่าง

ถ้า F '(x) ≠ 0 แล้วΔuและ DY เทียบเท่า (เมื่อΔh→ 0); ถ้า F '(x) = 0 (ความหมายและ DY = 0) พวกเขาจะไม่เทียบเท่า

ตัวอย่างเช่นถ้าการ y = x ^{2 แล้วΔu} = (x + Δh) ² ─ x ² = 2xΔh + ^{Δhที่ 2} และ DY = 2xΔh ถ้า x = 3 แล้วเรามีΔu = 6Δh + ^{Δhที่ 2} และ DY = 6Δhที่เทียบเท่าเนื่องจากΔh ² → 0 เมื่อ x = 0 ค่าΔu = ^{Δhที่ 2} และ DY = 0 จะไม่เทียบเท่า

ความจริงเรื่องนี้ร่วมกับโครงสร้างที่เรียบง่ายของความแตกต่าง (ม. อีเส้นตรงด้วยความเคารพΔh) มักจะใช้ในการคำนวณโดยประมาณบนสมมติฐานที่ว่าΔu≈ DY สำหรับΔhขนาดเล็ก หาฟังก์ชั่นที่แตกต่างกันมักจะง่ายกว่าในการคำนวณมูลค่าที่แน่นอนของการเพิ่มขึ้น

ตัวอย่างเช่นเรามีก้อนโลหะที่มีขอบ x = 10.00 ซม. ได้รับความร้อนขอบยาวบนΔh = 0.001 ซม. วิธีการเพิ่มขึ้นปริมาณก้อน V? เรามี V = x ^{2 เพื่อให้} dV = 3x ² = Δh 3 ∙∙ ¹⁰ กุมภาพันธ์ 0/01 = 3 (ซม. ³⁾ เพิ่มขึ้นΔVค่าเทียบเท่า dV เพื่อให้ΔV = 3 ซม. ³ การคำนวณแบบเต็มจะให้ ³ ΔV = 10,01 ─ ¹⁰ มีนาคม = 3.003001 แต่ผลของตัวเลขทั้งหมดยกเว้นที่ไม่น่าเชื่อถือแรก; ดังนั้นจึงยังคงเป็นสิ่งจำเป็นที่จะปัดเศษขึ้นถึง 3 ซม. ³

เห็นได้ชัดว่าวิธีการนี้จะเป็นประโยชน์เฉพาะถ้ามันเป็นไปได้ที่จะประเมินค่าแก่ด้วยข้อผิดพลาด

ฟังก์ชั่นที่แตกต่างกัน: ตัวอย่าง

ลองพยายามที่จะหาค่าของฟังก์ชันการ y = x ^{3 การหาอนุพันธ์} ให้เราให้อาร์กิวเมนต์เพิ่มΔuและกำหนด

Δu = (Δh + x) ³ ─ x ³ = 3x ² + Δh (Δh3xΔh ² + ³⁾

นี่ค่าสัมประสิทธิ์ A = 3x ² ไม่ขึ้นอยู่กับΔhเพื่อให้ระยะแรกเป็นสัดส่วนΔhสมาชิกอื่น ๆ 3xΔhΔh ² + ³ เมื่อΔh→ 0 ลดลงเร็วกว่าการเพิ่มขึ้นของการโต้แย้ง ดังนั้นสมาชิกของ 3x ² Δhคือความแตกต่างของการ y = x ^3:

DY = 3x ² Δh = 3x ² DX หรือ d (x ³⁾ = 3x ² DX

ประเด็น d (x ³⁾ / DX = 3x ²

Dy ตอนนี้เราพบว่าฟังก์ชัน y = 1 / x โดยอนุพันธ์ แล้ว d (1 / x) / DX = ─1 / x ² ดังนั้น DY = ─Δh / x ²

ความแตกต่างของฟังก์ชั่นพีชคณิตพื้นฐานจะได้รับดังนี้

คำนวณโดยประมาณโดยใช้ค่า

เพื่อประเมินฟังก์ชัน f (x) และอนุพันธ์ F '(x) ที่ x = มักจะเป็นเรื่องยาก แต่จะทำเช่นเดียวกันในบริเวณใกล้เคียง x = a นั้นไม่ใช่เรื่องง่าย จากนั้นมาให้ความช่วยเหลือของการแสดงออกโดยประมาณ

f (A + Δh) ≈ F '(ก) Δh + F (ก)

นี้จะช่วยให้ค่าประมาณของฟังก์ชั่นที่เพิ่มขึ้นทีละเล็กผ่านค่าของΔh F '(ก) Δh

ดังนั้นสูตรนี้จะช่วยให้การแสดงออกโดยประมาณสำหรับการทำงานที่จุดสิ้นสุดของการเป็นส่วนหนึ่งของความยาวΔhเป็นผลรวมของมูลค่าที่จุดเริ่มต้นของส่วนที่ (x =) และค่าในจุดเริ่มต้นเดียวกัน ความถูกต้องของวิธีการสำหรับการกำหนดค่าของฟังก์ชั่นดังต่อไปนี้แสดงให้เห็นถึงการวาดภาพ

อย่างไรก็ตามเป็นที่รู้จักและการแสดงออกที่แน่นอนสำหรับค่าของฟังก์ชั่น x = a + Δhที่ได้รับจากการเพิ่มขึ้นแน่นอนสูตร (หรือหรือสูตรของลากรองจ์)

f (A + Δh) ≈ F '(ξ) Δh + F (a)

ที่จุด x = a + ξอยู่ในช่วงจาก x = ให้ x = a + Δhแม้ว่าตำแหน่งที่แน่นอนของมันไม่เป็นที่รู้จัก สูตรที่แน่นอนจะช่วยให้การประเมินข้อผิดพลาดของสูตรโดยประมาณ ถ้าเราใส่ในสูตรξ Lagrange = Δh / 2 แม้ว่ามันจะสิ้นสุดสภาพการเป็นที่ถูกต้อง แต่ให้เป็นกฎที่เป็นวิธีการที่ดีขึ้นกว่าเดิมการแสดงออกในแง่ของความแตกต่าง

ข้อผิดพลาดของสูตรการประเมินผลโดยการใช้ค่า

เครื่องมือวัด ในหลักการที่ไม่ถูกต้องและนำไปข้อมูลการวัดที่สอดคล้องกับข้อผิดพลาด พวกเขามีลักษณะโดยการ จำกัด ข้อผิดพลาดแน่นอน หรือในระยะสั้นข้อผิดพลาดขีด จำกัด - ในเชิงบวกอย่างชัดเจนเกินข้อผิดพลาดในค่าสัมบูรณ์ (หรือที่มากที่สุดเท่ากันไป) จำกัด ข้อผิดพลาดญาติ เรียกว่าฉลาดที่ได้จากการหารด้วยค่าสัมบูรณ์ของค่าที่วัดได้

ให้แน่นอนสูตรการ y = f (x) ฟังก์ชั่นที่ใช้ในการ vychislyaeniya ปี แต่ค่าของ x คือผลการวัดและดังนั้นจึงนำข้อผิดพลาดวาย จากนั้นเพื่อหาสิ่งที่ จำกัด ข้อผิดพลาดแน่นอน│Δu│funktsii Y โดยใช้สูตร

│Δu│≈│dy│ = │ F '(x) ││Δh│,

ที่│Δh│yavlyaetsyaโต้แย้งข้อผิดพลาดเล็กน้อย ปริมาณ│Δu│จะต้องปัดเศษขึ้นเป็น การคำนวณที่ไม่ถูกต้องของตัวเองคือการเปลี่ยนจากการเพิ่มขึ้นในการคำนวณค่าที่