Maclaurin และการสลายตัวของฟังก์ชั่นบางอย่าง

เรียนคณิตศาสตร์ขั้นสูงควรจะตระหนักว่าผลรวมของชุดที่มีอำนาจในช่วงเวลาของการบรรจบกันของจำนวนของเราเป็นจำนวนอย่างต่อเนื่องและไม่ จำกัด จำนวนครั้งที่ฟังก์ชั่นที่แตกต่างกัน คำถามที่เกิดขึ้น: มันเป็นไปได้ที่จะได้รับการยืนยันว่าฟังก์ชั่นโดยพล f (x) - คือผลรวมของชุดไฟได้หรือไม่ นั่นคือภายใต้เงื่อนไขว่า F-tions f (x) สามารถแสดงด้วยชุดไฟหรือไม่? ความสำคัญของปัญหานี้ก็คือว่ามันเป็นไปได้ที่จะเข้ามาแทนที่ประมาณ£ศาสนศาสตร์ f (x) คือผลรวมของไม่กี่ข้อตกลงครั้งแรกของชุดไฟที่เป็นพหุนาม ฟังก์ชั่นดังกล่าวทดแทนคือการแสดงออกค่อนข้างง่าย - พหุนาม - สะดวกในการแก้ปัญหาบางอย่าง ในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ คือในการแก้ปริพันธ์เมื่อคำนวณ สมการเชิงอนุพันธ์ ฯลฯ ...

ได้พิสูจน์ให้เห็นว่าบางฉฉ-II (x) ในประเด็นสัญญาซื้อขายล่วงหน้าของ (n + 1) เพื่อ -th สามารถคำนวณรวมทั้งล่าสุดในบริเวณใกล้เคียงของ (α - R; ₀ x + R) ของจุด x = αสูตรยุติธรรม:

สูตรนี้เป็นชื่อหลังจากที่นักวิทยาศาสตร์ที่มีชื่อเสียงบรูกเทย์เลอร์ จำนวนของซึ่งได้มาจากก่อนหน้านี้หนึ่งจะเรียกว่าชุด Maclaurin:

กฎที่ทำให้มันเป็นไปได้ในการผลิตขยายตัวในชุด Maclaurin:

1. ตรวจสอบสัญญาซื้อขายล่วงหน้าของครั้งแรกที่สองที่สาม ... การสั่งซื้อ
2. คำนวณสิ่งที่เป็นอนุพันธ์ที่ x = 0
3. บันทึก Maclaurin ชุดสำหรับฟังก์ชั่นนี้และจากนั้นในการกำหนดช่วงเวลาของคอนเวอร์เจนซ์
4. กำหนดช่วงเวลา (-R; R) ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งที่เหลือของสูตร Maclaurin

R _n (x) -> 0 สำหรับ n -> อินฟินิตี้ หากหนึ่งที่มีอยู่ก็ฟังก์ชั่น f (x) จะต้องเท่ากับผลรวมของชุด Maclaurin

พิจารณาในขณะนี้ชุด Maclaurin สำหรับการทำงานของแต่ละบุคคล

1. ดังนั้นครั้งแรกที่จะ f (x) = ^x อี แน่นอนว่าลักษณะของพวกเขาเพื่อให้ F-เอียได้ที่ได้มาจากความหลากหลายของคำสั่งซื้อและ f ^{(k) (x)} = ^{x อีที่} k เท่ากับทั้งหมด จำนวนธรรมชาติ แทน x = 0 เราได้รับ f ^{(k) (0)} = ⁰ E = 1 k = 1,2 ... ขึ้นอยู่กับที่กล่าวมาแล้วจำนวนของ e ^x มันจะเป็นดังนี้

2. ชุด Maclaurin สำหรับฟังก์ชัน f (x) = sin x ทันทีระบุว่า F-tions สำหรับสัญญาซื้อขายล่วงหน้าที่ไม่รู้จักทุกคนจะมีนอกเหนือจาก F ^'(x) = cos x = sin (x + n / 2), ^{F' '(x)} = -sin x = sin (x + 2 * n / ²⁾ ... , f ^{(k) (x)} = sin (x + n * k / 2) โดยที่ k เท่ากับจำนวนเต็มบวกใด ๆ นั่นคือการคำนวณง่ายเราสามารถสรุปได้ว่าชุดสำหรับ f (x) = sin x จะเป็นเช่นนี้

3. ตอนนี้ขอพิจารณา Iju F-f (x) = cos x มันเป็นที่รู้จักสำหรับสัญญาซื้อขายล่วงหน้าทั้งหมดของการสั่งซื้อโดยพลการและ ^{| f (k) (x)} | = | Cos (x + K * N / 2) | <= 1 k = 1,2 ... อีกครั้งที่ได้ทำคำนวณบางอย่างเราจะพบว่าชุดสำหรับ f (x) = cos x จะมีลักษณะเช่นนี้

ดังนั้นเราจึงได้แสดงคุณสมบัติที่สำคัญที่สุดที่สามารถขยายตัวในชุด Maclaurin แต่พวกเขาเติมเต็มชุดเทย์เลอร์สำหรับการทำงานบางอย่าง ตอนนี้เราจะแสดงพวกเขาเช่นกัน มันก็ควรจะตั้งข้อสังเกตว่าเทย์เลอร์ชุดและชุด Maclaurin เป็นส่วนสำคัญของชุดการประชุมเชิงปฏิบัติการของการตัดสินใจในคณิตศาสตร์ที่สูงขึ้น ดังนั้นชุดเทย์เลอร์

1. แรกคือชุดของ F-ii f (x) = LN A (1 + x) ในขณะที่ตัวอย่างก่อนหน้านี้สำหรับฉนี้เรา (x) = LN (1 + x) สามารถพับเก็บได้จำนวนโดยใช้รูปแบบทั่วไปของ Maclaurin ชุด แต่สำหรับคุณลักษณะนี้ Maclaurin สามารถหาได้ง่ายมาก การบูรณาการชุดเรขาคณิตเราได้รับหมายเลข f (x) A = LN (1 + x) ของกลุ่มตัวอย่าง:

2. และครั้งที่สองซึ่งจะเป็นครั้งสุดท้ายในบทความนี้จะเป็นชุดสำหรับ f (x) A = arctg x สำหรับ x ที่อยู่ในช่วง [-1; 1] คือการสลายตัวที่ถูกต้อง:

นั่นคือทั้งหมดที่ ในบทความนี้ผมได้สำรวจชุด Taylor ใช้มากที่สุดและชุด Maclaurin ในคณิตศาสตร์ที่สูงขึ้นโดยเฉพาะอย่างยิ่งในวิทยาลัยทางเศรษฐกิจและวิชาการ