เชิงเส้นและสมการเชิงอนุพันธ์ที่เป็นเนื้อเดียวกันของการสั่งซื้อครั้งแรก ตัวอย่างของการแก้ปัญหา

ผมคิดว่าเราควรเริ่มต้นด้วยประวัติศาสตร์ของเครื่องมือทางคณิตศาสตร์รุ่งโรจน์เป็นสมการเชิงอนุพันธ์ ชอบทุกแตกต่างและแคลคูลัสสมการเหล่านี้ถูกคิดค้นขึ้นโดยนิวตันในช่วงปลายศตวรรษที่ 17 เขาเชื่อว่ามันเป็นสิ่งสำคัญที่ค้นพบของเขาเพื่อให้ได้ข้อความที่เข้ารหัสลับซึ่งวันนี้สามารถแปลได้ดังนี้: "กฎหมายทั้งหมดของธรรมชาติอธิบายโดยสมการเชิงอนุพันธ์" มันอาจจะดูเหมือนพูดเกินจริง แต่มันเป็นความจริง กฎหมายของฟิสิกส์, เคมี, ชีววิทยาใด ๆ สามารถอธิบายได้ด้วยสมการเหล่านี้

ผลมหาศาลต่อการพัฒนาและการสร้างทฤษฎีของสมการเชิงอนุพันธ์มีวิชาคณิตศาสตร์ของออยเลอร์และ Lagrange แล้วในศตวรรษที่ 18 ที่พวกเขาค้นพบและพัฒนาสิ่งที่ตอนนี้กำลังศึกษาอยู่ที่มหาวิทยาลัยหลักสูตรผู้บริหารระดับสูง

ก้าวใหม่ในการศึกษาของสมการเชิงอนุพันธ์เริ่มขอบคุณที่ Anri Puankare เขาสร้าง "ทฤษฎีเชิงคุณภาพของสมการเชิงอนุพันธ์" ซึ่งรวมกับทฤษฎีของฟังก์ชันของตัวแปรที่ซับซ้อนมีส่วนสำคัญต่อการวางรากฐานของโครงสร้าง - วิทยาศาสตร์ของพื้นที่และคุณสมบัติของ

อะไรคือสมการเชิงอนุพันธ์?

หลายคนกลัวของวลี "สมการเชิงอนุพันธ์" แต่ในบทความนี้เราจะกำหนดไว้ในรายละเอียดสาระสำคัญของเครื่องมือทางคณิตศาสตร์นี้มีประโยชน์มากที่เป็นจริงไม่เป็นที่ซับซ้อนอย่างที่ดูเหมือนว่าจากชื่อ เพื่อที่จะเริ่มต้นที่จะพูดคุยเกี่ยวกับสมการสั่งซื้อครั้งแรกค่าก่อนอื่นคุณต้องทำความคุ้นเคยกับแนวคิดพื้นฐานที่เกี่ยวข้องโดยเนื้อแท้กับคำนิยามนี้ และเราจะเริ่มต้นด้วยการที่แตกต่างกัน

ค่า

หลายคนรู้คำนี้ตั้งแต่มัธยม อย่างไรก็ตามยังคงอาศัยอยู่ในในรายละเอียด ลองนึกภาพกราฟของฟังก์ชั่น เราสามารถเพิ่มขึ้นดังกล่าวเท่าที่ใด ๆ ของกลุ่มของตนจะกลายเป็นเส้นตรง มันจะใช้สองจุดที่มีอนันต์ใกล้กัน ความแตกต่างระหว่างพิกัดของพวกเขา (x หรือ y) เป็นเล็ก และเป็นที่เรียกค่าและตัวอักษรที่กำหนด DY (ค่าของ y) และ DX (ค่าของ x) มันเป็นสิ่งสำคัญที่จะเข้าใจว่าค่าไม่ได้เป็นค่าที่ดีที่สุดและนี่คือความหมายและฟังก์ชั่นหลัก

และตอนนี้คุณจะต้องพิจารณาองค์ประกอบต่อไปนี้ซึ่งเราจะต้องอธิบายแนวคิดสมการเชิงอนุพันธ์ มัน - อนุพันธ์

ตราสารอนุพันธ์

เราทุกคนต้องเคยได้ยินที่โรงเรียนและความคิดนี้ พวกเขาบอกว่าอนุพันธ์ - เป็นอัตราการเจริญเติบโตหรือลดลงของการทำงาน แต่ความหมายนี้จะกลายเป็นความสับสนมากขึ้น ให้เราพยายามที่จะอธิบายแง่อนุพันธ์ของคำนวณผล ลองกลับไปที่ฟังก์ชั่นช่วงเวลาเล็กไปกับสองจุดซึ่งตั้งอยู่ในระยะต่ำสุดจากกันและกัน แต่ถึงแม้จะเกินระยะฟังก์ชั่นนี้เป็นเวลาที่จะเปลี่ยนค่าบางอย่าง และเพื่ออธิบายว่าการเปลี่ยนแปลงและมากับตราสารอนุพันธ์ที่มิฉะนั้นจะเขียนเป็นอัตราส่วนของความแตกต่างที่: f (x) '= DF / DX

ตอนนี้มันเป็นสิ่งที่จำเป็นที่จะต้องพิจารณาคุณสมบัติพื้นฐานของอนุพันธ์ มีเพียงสาม:

1. รวมอนุพันธ์หรือความแตกต่างที่สามารถแสดงเป็นผลรวมหรือความแตกต่างของสัญญาซื้อขายล่วงหน้า (A + B) '= a + b 'และ (AB)'= a'-B'
2. สถานที่ให้บริการที่สองคือการเชื่อมต่อกับการคูณ ผลงานต่อเนื่อง - เป็นผลรวมของการทำงานของฟังก์ชั่นหนึ่งที่จะอนุพันธ์อื่นนี้ (a * b) = a 'b * + a * b'
3. อนุพันธ์ของความแตกต่างสามารถเขียนเป็นสมการต่อไปนี้: (A / B) '= (ก' * * * * * * * * BA b ') / b ²

คุณสมบัติทั้งหมดนี้มาในสะดวกในการหาแนวทางในการแก้สมความแตกต่างของการสั่งซื้อครั้งแรก

นอกจากนี้ยังมีบางส่วนสัญญาซื้อขายล่วงหน้า สมมติว่าเรามีการทำงานของ Z ซึ่งขึ้นอยู่กับตัวแปร x และ y ในการคำนวณอนุพันธ์บางส่วนของฟังก์ชั่นนี้ยกตัวอย่างเช่นใน x, เราจำเป็นต้องใช้ตัวแปร y สำหรับค่าคงที่และง่ายต่อการแยกความแตกต่าง

สำคัญ

อีกแนวคิดที่สำคัญ - หนึ่ง ในความเป็นจริงมันเป็นตรงข้ามของอนุพันธ์ ปริพันธ์หลายประเภท แต่การแก้ปัญหาที่ง่ายที่สุดของสมการเชิงอนุพันธ์เราต้องจิ๊บจ๊อยมากที่สุด ปริพันธ์ไม่แน่นอน

ดังนั้น สิ่งที่เป็นหนึ่ง? สมมติว่าเรามีความสัมพันธ์บางฉของ x เราใช้เวลาจากนั้นหนึ่งและได้รับฟังก์ชัน f (x) (มันมักจะถูกเรียกว่าเป็นดั้งเดิม) ซึ่งเป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชั่นเดิม ดังนั้น f (x) = f (x) นอกจากนี้ยังแสดงให้เห็นว่าหนึ่งของอนุพันธ์เท่ากับฟังก์ชั่นเดิม

ในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์มันเป็นสิ่งสำคัญมากที่จะเข้าใจความหมายและหน้าที่ของหนึ่งตั้งแต่มากมักจะมีการพาพวกเขาไปหาแนวทางแก้ไขปัญหา

สมการจะแตกต่างกันขึ้นอยู่กับลักษณะของพวกเขา ในส่วนถัดไปเราจะดูที่ประเภทของสมการเชิงอนุพันธ์สั่งซื้อครั้งแรกและจากนั้นได้เรียนรู้วิธีการที่จะแก้ปัญหาได้

ชั้นเรียนของสมการเชิงอนุพันธ์

"Diffury" แบ่งออกตามคำสั่งของสัญญาซื้อขายล่วงหน้าที่เกี่ยวข้องกับพวกเขา ดังนั้นจึงมีเป็นครั้งแรกที่สองที่สามหรือมากกว่าการสั่งซื้อ พวกเขายังสามารถแบ่งออกเป็นหลายชั้นเรียน: สามัญและบางส่วน

ในบทความนี้เราจะพิจารณาสมการเชิงอนุพันธ์สามัญของการสั่งซื้อครั้งแรก ตัวอย่างและการแก้ปัญหาที่เราจะหารือในส่วนต่อไป เราพิจารณาเฉพาะแทคเพราะมันเป็นชนิดที่พบมากที่สุดของสมการ แบ่งธรรมดาเป็นชนิดย่อย: ตัวแปรแยกเป็นเนื้อเดียวกันและต่างกัน ถัดไปคุณจะได้เรียนรู้วิธีการที่พวกเขาแตกต่างจากคนอื่น ๆ และเรียนรู้วิธีการที่จะแก้ปัญหาได้

นอกจากนี้สมการเหล่านี้สามารถนำมารวมกันเพื่อที่ว่าหลังจากที่เราได้รับระบบสมการเชิงอนุพันธ์ของการสั่งซื้อครั้งแรก ระบบดังกล่าวเรายังดูและเรียนรู้วิธีที่จะแก้ปัญหา

ทำไมเรากำลังพิจารณาเฉพาะการสั่งซื้อครั้งแรก? เพราะมันเป็นสิ่งจำเป็นที่จะเริ่มต้นด้วยการที่ง่ายและอธิบายทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับสมการเชิงอนุพันธ์ในบทความเดียวมันเป็นไปไม่ได้

สมกับตัวแปรที่แยกกันไม่ออก

นี้อาจจะเป็นสมการเชิงอนุพันธ์สั่งซื้อครั้งแรกที่ง่ายที่สุด เหล่านี้เป็นตัวอย่างที่สามารถเขียนเป็น: Y '= f (x) * f (y) การแก้สมการนี้เราต้องสูตรตัวแทนของอนุพันธ์เป็นอัตราส่วนของความแตกต่างที่: Y '= DY / DX กับมันเราได้รับสมการ: DY / DX = f (x) * f (y) ตอนนี้เราสามารถเปิดให้วิธีการในการแก้ตัวอย่างมาตรฐาน: แยกตัวแปรในส่วนคือข้างหน้าอย่างรวดเร็วทุกตัวแปร y ในส่วนที่มี DY และยังทำให้ตัวแปร x ... เราได้รับสมการของรูปแบบ: DY / f (y) = f (x) DX ซึ่งประสบความสำเร็จโดยการปริพันธ์ของทั้งสองส่วน อย่าลืมเกี่ยวกับค่าคงที่ที่คุณต้องการที่จะนำหลังจากที่บูรณาการ

วิธีการแก้ปัญหาใด ๆ "diffura" - เป็นฟังก์ชั่นของ x โดย Y (ในกรณีของเรา) หรือถ้ามีสภาพตัวเลขคำตอบคือตัวเลข ให้เราตรวจสอบตัวอย่างที่เป็นรูปธรรมทั้งหลักสูตรของการตัดสินใจ:

Y '= 2y * บาป (x)

โอนตัวแปรในทิศทางที่แตกต่าง:

DY / การ y = 2 * บาป (x) DX

ตอนนี้ใช้เวลาปริพันธ์ ทั้งหมดของพวกเขาสามารถพบได้ในตารางพิเศษปริพันธ์ และเราจะได้รับ:

LN (y) = -2 * cos (x) + C

ถ้าจำเป็นเราสามารถแสดง "Y" เป็นหน้าที่ของ "X" ซึ่งเป็น ตอนนี้เราสามารถพูดได้ว่าสมการเชิงอนุพันธ์ของเราจะแก้ไขได้หากไม่ได้ระบุเงื่อนไข สามารถระบุสภาพเช่น, y (n / 2) = อี จากนั้นเราก็จะแทนค่าของตัวแปรเหล่านี้ในการตัดสินใจและหาค่าของอย่างต่อเนื่อง ในตัวอย่างของเราก็เป็น 1

สมการเชิงอนุพันธ์สั่งซื้อครั้งแรกเหมือนกัน

ตอนนี้เกี่ยวกับชิ้นส่วนที่ซับซ้อนมากขึ้น สมการค่าแรกเป็นเนื้อเดียวกันสามารถเขียนในรูปแบบทั่วไป: Y '= Z (x, y) มันควรจะตั้งข้อสังเกตว่าฟังก์ชั่นที่เหมาะสมของสองตัวแปรเป็นชุดและมันไม่สามารถแบ่งออกเป็นสองขึ้นอยู่กับ: Z X และ Z ของปี ตรวจสอบว่าสมการที่เป็นเนื้อเดียวกันหรือไม่ค่อนข้างง่าย: เราทำการเปลี่ยนตัว x = k * x และ y = k * Y ตอนนี้เราตัด k ทั้งหมด ถ้าตัวอักษรเหล่านี้จะลดลงแล้วสมการที่เป็นเนื้อเดียวกันและปลอดภัยสามารถดำเนินการแก้ปัญหาของ มองไปข้างหน้าเรากล่าวว่าหลักการของการแก้ปัญหาของตัวอย่างเหล่านี้ยังเป็นเรื่องง่ายมาก

เราจำเป็นต้องทำให้เปลี่ยนตัว: การ y = T (x) * x ที่ T - ฟังก์ชั่นที่ยังขึ้นอยู่กับเอ็กซ์ จากนั้นเราก็สามารถแสดงอนุพันธ์: Y 't =' (x) * x + T แทนทั้งหมดนี้เป็นสมการเดิมของเราและลดความซับซ้อนของมันเรามีตัวอย่างของการแยกตัวแปรทีเป็น x ที่ แก้ปัญหาได้และได้รับการพึ่งพาอาศัยกันของ T (x) เมื่อเราได้รับมันก็ทดแทนเปลี่ยนตัวของเราก่อนหน้าการ y = T (x) * x จากนั้นเราได้รับการพึ่งพาอาศัยกันของ Y บนแกน x

ที่จะทำให้มันชัดเจนเราจะเข้าใจตัวอย่าง: x * Y '= YX * E / y x

เมื่อตรวจสอบการเปลี่ยนทั้งหมดลดลง ดังนั้นสมการที่เป็นเนื้อเดียวกันจริงๆ ตอนนี้ทำการเปลี่ยนตัวผู้อื่นเราได้พูดคุยเกี่ยวกับ: การ y = T (x) * x และ y 't =' (x) * x + T (x) หลังจากที่ความเรียบง่ายต่อไปนี้สม: T '(x) * x = อีที ^{เราตัดสินใจที่จะได้รับตัวอย่างที่มีตัวแปรที่แยกออกจากกันและเราจะได้รับ: E-T = LN (C *} x) เราก็ต้องเปลี่ยนตัน / y x (เพราะถ้า y = x * t แล้ว t = Y / X) ^{และเราได้คำตอบ: อี -y / x = LN (} x * C)

สมการเชิงเส้นแตกต่างของการสั่งซื้อครั้งแรก

มันเป็นเวลาที่จะพิจารณาหัวข้อกว้างอีก เราจะดูสมการเชิงอนุพันธ์ลำดับแรกที่แตกต่างกัน พวกเขาจะแตกต่างจากก่อนหน้านี้สอง? ปล่อยให้หน้ามัน สมการเชิงเส้นค่าครั้งแรกในรูปแบบทั่วไปของสมการสามารถเขียนได้ดังนี้: Y '+ g (x) * การ y = Z (x) มันควรจะชี้แจงว่า Z (x) และ g (x) อาจจะเป็นค่าคงที่

นี่คือตัวอย่าง: Y '- Y * x = x ²

มีสองวิธีที่จะแก้ปัญหาที่เราสั่งให้เราตรวจสอบทั้งสองของพวกเขาและ ครั้งแรก - วิธีการของการเปลี่ยนแปลงของค่าคงที่พล

การแก้สมการในลักษณะนี้ก็มีความจำเป็นต้องถือเอาด้านขวามือเป็นครั้งแรกที่จะเป็นศูนย์และการแก้สมการที่เกิดขึ้นซึ่งหลังจากการถ่ายโอนของชิ้นส่วนกลายเป็น:

Y 'y = * x;

DY / DX * y = x;

DY / y = xdx;

LN | Y | x = ^2/2 + C;

การ y = ^x2 E ^{/ 2} * ^C Y = C ₁ * อี ^{x2 / 2}

ตอนนี้มันเป็นสิ่งจำเป็นที่จะเปลี่ยนคง C ₁ ในฟังก์ชั่นวี (x) ซึ่งเราจะได้พบกับ

การ y = V * E ^{x2 / 2}

วาดอนุพันธ์ทดแทน:

^{Y 'v =' * x2 E} / ² -x * * * * * * * * วีอี ^{x2 / 2}

แทนการแสดงออกเหล่านี้ลงในสมการเดิม:

โวลต์ '* อี ^{x2 / 2} - x * * * * * * * * วีอี ^{x2 / 2} + x * * * * * * * * วีอี ^{x2 / 2} = x ²

คุณจะเห็นว่าในด้านซ้ายของสองคำจะลดลง ถ้ายกตัวอย่างเช่นบางอย่างที่ไม่ได้เกิดขึ้นแล้วคุณได้ทำอะไรผิด เรายังคง:

โวลต์ '* อี ^{x2 / 2} = x ²

ตอนนี้เราแก้สมการปกติในที่ที่คุณต้องการแยกตัวแปร:

DV / DX = x ^{2 /} E ^x2 / ^2;

DV = x ² * อี ^{- x2 / 2} DX

เพื่อลบหนึ่งเราจะต้องนำไปใช้บูรณาการโดยชิ้นส่วนที่นี่ แต่นี้ไม่ได้เป็นหัวข้อของบทความนี้ หากคุณสนใจคุณสามารถเรียนรู้ได้ด้วยตัวเองที่จะดำเนินการการกระทำดังกล่าว มันไม่ได้เป็นเรื่องยากและมีทักษะและการดูแลพอที่จะไม่ใช้เวลานาน

หมายถึงวิธีการที่สองการแก้ปัญหาของสมการ inhomogeneous นี้: วิธี Bernoulli สิ่งที่เป็นวิธีการที่เร็วและง่ายขึ้น - มันขึ้นอยู่กับคุณ

ดังนั้นเมื่อการแก้วิธีนี้เราต้องทำให้เปลี่ยนตัว: การ y = k * n นี่ k และ n - ฟังก์ชั่นบางอย่างขึ้นอยู่กับ x จากนั้นอนุพันธ์จะมีลักษณะเช่น: Y '= k * + n k * n' แทนสองแทนในสมการ:

k * + n k * n + x * * * * * * * * k n = x ²

กลุ่มขึ้น:

k * + n k * ( n '+ x * n) = x ²

ตอนนี้มันเป็นสิ่งจำเป็นที่จะถือเอาการเป็นศูนย์ที่อยู่ในวงเล็บ ตอนนี้ถ้าคุณรวมทั้งสองสมการส่งผลให้เราได้รับระบบสมการเชิงอนุพันธ์สั่งซื้อครั้งแรกที่จะได้รับการแก้ไข:

n '+ x * n = 0;

k * n = x ²

ความเท่าเทียมกันก่อนตัดสินใจว่าสมการปกติ การทำเช่นนี้คุณจะต้องแยกตัวแปร:

DN / DX = x * วี;

DN / n = xdx

เราใช้เวลาหนึ่งและเราได้รับ: LN (n) = x ^2/2 แล้วถ้าเราแสดงของโรงเรียน:

n = อี ^{x2 / 2}

ตอนนี้แทนสมการที่เกิดเป็นสมการที่สอง:

k * อี ^{x2 / 2} = x ²

และเปลี่ยนเราได้รับสมการเช่นเดียวกับในวิธีแรก:

DK = x ^{2 /} E ^x2 / ²

นอกจากนี้เรายังจะได้หารือเกี่ยวกับการดำเนินการต่อ มันก็บอกว่าที่สมการเชิงอนุพันธ์แรกสั่งซื้อครั้งแรกวิธีการแก้ปัญหาที่ทำให้เกิดความยากลำบากมาก อย่างไรก็ตามการแช่ลึกลงไปในหัวข้อที่จะเริ่มต้นได้ดีกว่าและดีกว่า

อยู่ที่ไหนสมการเชิงอนุพันธ์?

สมการเชิงอนุพันธ์ที่ใช้งานมากใช้ในฟิสิกส์เช่นเกือบทุกกฎหมายพื้นฐานเขียนในรูปแบบที่แตกต่างกันและสูตรเหล่านั้นที่เราเห็น - วิธีการแก้สมการเหล่านี้ ในวิชาเคมีพวกเขาจะใช้เหตุผลเดียวกัน: กฎหมายพื้นฐานที่จะได้มาผ่านพวกเขา ในทางชีววิทยาสมการเชิงอนุพันธ์ที่มีการใช้ในการจำลองการทำงานของระบบเช่นล่า - เหยื่อ พวกเขายังสามารถใช้ในการสร้างแบบจำลองของการสืบพันธุ์เช่นอาณานิคมของจุลินทรีย์

ในฐานะที่เป็นสมการเชิงอนุพันธ์ช่วยในชีวิต?

คำตอบสำหรับคำถามนี้เป็นเรื่องง่าย: ไม่มีอะไร ถ้าคุณไม่ได้เป็นนักวิทยาศาสตร์หรือวิศวกรมันไม่น่าเป็นว่าพวกเขาจะเป็นประโยชน์ แต่ไม่เจ็บที่จะรู้ว่าสิ่งที่สมการเชิงอนุพันธ์และมันจะแก้ไขสำหรับการพัฒนาโดยรวม และแล้วคำถามของลูกชายหรือลูกสาวว่า "สิ่งที่สมการเชิงอนุพันธ์?" ไม่ทำให้คุณอยู่ในปลายตาย ดีถ้าคุณเป็นนักวิทยาศาสตร์หรือวิศวกรแล้วคุณจะรู้ถึงความสำคัญของหัวข้อนี้ในทางวิทยาศาสตร์ใด ๆ แต่ที่สำคัญที่สุดที่ตอนนี้คำถาม "วิธีการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ของการสั่งซื้อครั้งแรก?" คุณก็จะสามารถที่จะให้คำตอบ เห็นด้วยมันเป็นเรื่องดีเสมอเมื่อคุณตระหนักว่าสิ่งที่ผู้คนจะได้กลัวที่จะหา

ปัญหาหลักในการศึกษา

ปัญหาหลักในการทำความเข้าใจของหัวข้อนี้เป็นนิสัยที่ไม่ดีของการรวมฟังก์ชั่นและความแตกต่าง ถ้าคุณไม่สบายใจสมมติอนุพันธ์และปริพันธ์ก็น่าจะคุ้มค่ามากขึ้นในการเรียนรู้ที่จะเรียนรู้วิธีการที่แตกต่างกันของการรวมกลุ่มและความแตกต่างและเพียงแล้วดำเนินการต่อการศึกษาของวัสดุที่ได้รับการอธิบายไว้ในบทความ

บางคนจะประหลาดใจที่จะเรียนรู้ DX ที่สามารถโอนเป็นก่อนหน้านี้ (ในโรงเรียน) ที่ถกเถียงกันอยู่ว่าส่วน DY / DX จะแบ่งแยกมิได้ แล้วคุณจะต้องอ่านหนังสือที่เกี่ยวกับอนุพันธ์และเข้าใจว่ามันเป็นทัศนคติของปริมาณที่น้อยอนันต์ซึ่งสามารถจัดการในการแก้สมการ

มีหลายคนที่ไม่ได้ทันทีตระหนักว่าการแก้ปัญหาของสมการเชิงอนุพันธ์ของคำสั่งแรก - นี้มักจะเป็นฟังก์ชั่นหรือ neberuschiysya หนึ่งและความเข้าใจผิดนี้จะช่วยให้พวกเขามากปัญหา

อะไร ๆ ก็สามารถได้รับการศึกษาเพื่อทำความเข้าใจ?

ที่ดีที่สุดคือการเริ่มต้นการแช่ต่อเข้าสู่โลกของแคลคูลัสค่าตำราเฉพาะตัวอย่างเช่นในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์สำหรับนักเรียนพิเศษที่ไม่ใช่คณิตศาสตร์ จากนั้นคุณสามารถย้ายไปยังวรรณกรรมเฉพาะมากขึ้น

มันก็บอกว่านอกเหนือไปจากความแตกต่างยังคงมีสมการหนึ่งเพื่อให้คุณมักจะมีบางสิ่งบางอย่างที่จะมุ่งมั่นและสิ่งที่จะศึกษา

ข้อสรุป

เราหวังว่าหลังจากที่ได้อ่านบทความนี้คุณจะมีความคิดของสิ่งที่สมการเชิงอนุพันธ์และวิธีการที่จะแก้ปัญหาได้อย่างถูกต้อง

ในกรณีใด ๆ คณิตศาสตร์ในทางใดทางหนึ่งประโยชน์กับเราในชีวิต มันจะพัฒนาตรรกะและความสนใจโดยที่ทุกคนเป็นโดยไม่ต้องมือ